Loi d’Ohm : cours, formules et exercices corrigés, du CAP au BTS

Tout électricien fait de la loi d'Ohm plusieurs fois par jour, souvent sans le dire. Quand il lit « 2 400 W » sur la plaque d'un chauffe-eau et en déduit qu'il tirera un peu plus de 10 A, quand il s'étonne qu'une prise au fond du garage n'ait plus que 215 V en charge, quand il repère dans un tableau un bornier bruni ou une odeur de plastique chaud : c'est chaque fois la même relation entre tension, courant et résistance qui parle.

Ce cours reprend les grandeurs électriques de base, la formule de la loi d'Ohm, la puissance, l'énergie, la loi de Joule, les associations en série et en parallèle et la résistivité des conducteurs. Il vise d'abord le CAP Électricien (la relation entre tension et intensité est au programme de physique-chimie, le reste relève de l'enseignement professionnel), puis il va plus loin pour le bac pro et le BTS. Des exercices corrigés terminent la page.

Tension, intensité, résistance : les trois grandeurs de base

La tension, notée U, se mesure en volts (V). C'est une différence d'état électrique entre deux points : elle n'existe jamais « en un point », toujours entre deux points. Quand on dit que le réseau domestique est en 230 V, on parle de la tension entre la phase et le neutre. Sans tension, aucun courant ne circule, de la même façon que l'eau ne s'écoule pas dans un tuyau sans différence de pression.

L'intensité, notée I, se mesure en ampères (A). C'est le débit d'électricité qui traverse le circuit. Un chargeur de téléphone tire quelques centaines de milliampères, un four de 3 500 W environ 15 A. C'est l'intensité qui fait chauffer les conducteurs et qui fait déclencher les disjoncteurs : voilà pourquoi on la surveille autant.

La résistance, notée R, se mesure en ohms (Ω). Elle traduit la difficulté que le courant rencontre pour traverser un matériau. Un fil de cuivre de quelques mètres a une résistance de quelques centièmes ou dixièmes d'ohm, l'élément chauffant d'un radiateur plusieurs dizaines d'ohms, un isolant plusieurs mégohms.

Retenez les multiples courants : 1 kV = 1 000 V, 1 mA = 0,001 A, 1 kΩ = 1 000 Ω, 1 MΩ = 1 000 000 Ω, 1 kW = 1 000 W. La moitié des erreurs de calcul viennent d'un milliampère laissé tel quel dans une formule qui attend des ampères. Pour une présentation plus générale de ces unités, voyez notre article sur les unités de mesure électriques : volt, ampère, watt, kWh et kVA.

La loi d'Ohm : la formule U = R × I et ses trois formes

Pour un récepteur dit « ohmique », c'est-à-dire qui se comporte comme une simple résistance (élément chauffant de radiateur, de chauffe-eau, de four, conducteur en cuivre), la tension à ses bornes est proportionnelle au courant qui le traverse. Le coefficient de proportionnalité, c'est sa résistance :

U = R × I

avec U en volts, R en ohms et I en ampères. Selon la grandeur cherchée, on retourne la formule : I = U / R pour le courant, R = U / I pour la résistance. Si l'algèbre vous freine, le triangle ci-dessous suffit : on cache la grandeur cherchée, et ce qui reste donne le calcul. U au-dessus d'une barre, c'est une division ; R et I côte à côte, c'est une multiplication.

Un exemple d'atelier. Vous mesurez à l'ohmmètre, hors tension, l'élément chauffant d'un radiateur débranché : 35 Ω. Sous 230 V, il sera traversé par I = U / R = 230 / 35 ≈ 6,6 A. Inversement, si vous mesurez 230 V aux bornes d'un récepteur et 10 A à la pince, sa résistance en fonctionnement vaut R = U / I = 230 / 10 = 23 Ω.

Deux remarques pour ne pas appliquer la formule à tort. D'abord, la loi d'Ohm sous cette forme simple vaut pour les récepteurs résistifs ; un moteur, un transformateur, une alimentation électronique ou une LED ne se résument pas à une résistance. Ensuite, la résistance d'un métal augmente avec la température : l'élément chauffant mesuré à froid n'a pas tout à fait la même valeur une fois chaud. Pour les calculs du CAP, on considère R constante.

La puissance électrique : P = U × I

La puissance dit combien d'énergie un appareil transforme chaque seconde : en chaleur pour un radiateur, en lumière et en chaleur pour une lampe, en mouvement pour un moteur. Pour un récepteur résistif, elle vaut :

P = U × I

avec P en watts, U en volts, I en ampères. C'est la formule la plus utile du métier, parce que les appareils affichent leur puissance et que c'est leur intensité qui dimensionne le circuit. Un chauffe-eau de 2 400 W en 230 V appelle I = P / U = 2 400 / 230 ≈ 10,4 A. On le raccorde sur un circuit spécialisé en 2,5 mm² protégé par un disjoncteur de 20 A, comme nous le détaillons dans l'article quel disjoncteur pour un chauffe-eau électrique.

En combinant P = U × I et U = R × I, on obtient deux autres expressions de la puissance, très pratiques quand on ne connaît pas l'une des grandeurs :

La forme en U² / R explique un accident classique : brancher sur le 230 V une ampoule prévue pour 12 V. La tension est multipliée par un peu plus de 19, donc la puissance par 19², soit environ 370 : le filament ou le composant grille instantanément. À l'inverse, un radiateur de 2 000 W alimenté sous une tension 10 % plus basse ne fournit plus que 0,9² = 81 % de sa puissance.

L'énergie : des watts aux kilowattheures

La puissance est un débit ; l'énergie est la quantité consommée au bout d'un certain temps :

E = P × t

L'unité légale de l'énergie est le joule (J), qui correspond à un watt pendant une seconde. Le joule est trop petit pour une facture : on utilise le kilowattheure, l'énergie consommée par un appareil de 1 kW pendant une heure. Un kilowattheure vaut 3 600 000 J, soit 3,6 MJ. Pour éviter les erreurs, mettez la puissance en kilowatts et le temps en heures : le résultat sort directement en kWh.

Un client vous demande ce que lui coûte le convecteur de 1 500 W de sa chambre, qui chauffe en moyenne 4 heures par jour pendant un mois de 30 jours. Le temps de fonctionnement vaut 4 × 30 = 120 h, l'énergie E = 1,5 kW × 120 h = 180 kWh. Avec un prix d'exemple de 0,25 € le kWh, cela fait 180 × 0,25 = 45 €. Ce genre de calcul, posé proprement devant le client, vaut mieux que toutes les affirmations sur les « radiateurs qui consomment moins ». À puissance égale, deux radiateurs électriques consomment la même énergie pour le même temps de chauffe : ce qui change, c'est la régulation et la durée de fonctionnement.

La loi de Joule : pourquoi un conducteur chauffe

Tout conducteur traversé par un courant s'échauffe : c'est l'effet Joule. La puissance transformée en chaleur vaut :

P = R × I²

Dans un radiateur, cet effet est voulu. Dans un câble, un bornier ou une prise, c'est une perte, et surtout un danger. Le carré sur l'intensité est ce qu'il faut retenir : doubler le courant multiplie la chaleur dégagée par quatre. C'est pour cela que la section d'un câble se choisit en fonction du courant qu'il doit porter, et que le disjoncteur est là pour empêcher ce courant de dépasser ce que le câble supporte.

Le cas le plus sournois sur le terrain est la connexion mal serrée. Une vis de borne desserrée ou un fil mal enfoncé dans une borne automatique crée une résistance de contact. Elle paraît minuscule : 0,1 Ω. Mais à 16 A, elle dissipe P = 0,1 × 16² = 25,6 W, concentrés dans quelques millimètres cubes de laiton et de plastique. C'est l'équivalent d'un petit fer à souder enfermé dans le tableau. Le plastique noircit, la résistance de contact augmente encore, la chaleur aussi : la dégradation s'entretient d'elle-même. D'où le serrage au couple indiqué par le fabricant, et le contrôle des connexions lors d'une rénovation.

Associations de résistances en série et en parallèle

Deux récepteurs peuvent être raccordés de deux manières. En série, ils sont placés l'un derrière l'autre, sur le même chemin : le même courant les traverse tous, et la tension du réseau se partage entre eux. En parallèle, chacun est raccordé directement entre les deux mêmes points : chacun reçoit la tension complète, et les courants de chaque branche s'additionnent.

Les formules

En série, la résistance équivalente est la somme des résistances : Réq = R1 + R2 + R3. Trois résistances de 10 Ω, 20 Ω et 30 Ω en série sous 12 V forment 60 Ω ; le courant vaut 12 / 60 = 0,2 A, et chaque résistance prend une part de tension proportionnelle à sa valeur : 2 V, 4 V et 6 V, dont la somme redonne bien 12 V.

En parallèle, ce sont les inverses qui s'additionnent : 1 / Réq = 1 / R1 + 1 / R2 + … Pour deux résistances seulement, on utilise la forme « produit sur somme » : Réq = (R1 × R2) / (R1 + R2). La résistance équivalente est toujours plus petite que la plus petite des résistances : ajouter une branche, c'est ouvrir un chemin de plus au courant.

Pourquoi une installation domestique est câblée en parallèle

Prenons deux radiateurs de 1 000 W prévus pour 230 V. Chacun a une résistance R = U² / P = 230² / 1 000 = 52,9 Ω. Raccordés en parallèle, comme dans toute installation, ils reçoivent chacun 230 V, chauffent chacun à 1 000 W, et le circuit appelle 8,7 A au total. Raccordés en série, ils formeraient 105,8 Ω : le courant tomberait à 230 / 105,8 ≈ 2,2 A, chaque radiateur ne recevrait que 115 V et la puissance totale ne serait plus que 500 W, soit 250 W par radiateur. Autre défaut du montage série : si un appareil est coupé, tous les autres s'arrêtent. Le parallèle garantit que chaque appareil reçoit sa tension nominale et fonctionne indépendamment des autres.

Le parallèle a une contrepartie que tout électricien doit avoir en tête : les courants s'additionnent dans le câble d'alimentation commun. Un circuit de prises en 2,5 mm² supporte une bouilloire, puis un sèche-cheveux, puis un radiateur d'appoint… jusqu'à ce que la somme dépasse le calibre du disjoncteur.

La résistivité : calculer la résistance d'un câble

Un câble n'est pas une résistance nulle. Sa résistance dépend de trois choses : le métal utilisé, sa longueur et sa section. La formule est la suivante :

R = ρ × L / S

ρ (rhô) est la résistivité du métal. Dans le métier, on l'exprime en Ω·mm²/m pour pouvoir entrer directement la longueur L en mètres et la section S en mm². La résistance augmente avec la longueur et diminue quand la section augmente : doubler la section divise la résistance par deux.

À 20 °C, la résistivité du cuivre vaut environ 0,017 Ω·mm²/m (1,7 × 10⁻⁸ Ω·m) et celle de l'aluminium environ 0,028 Ω·mm²/m. Pour les calculs de chute de tension, la NF C 15-100 retient des valeurs majorées, 0,023 pour le cuivre et 0,037 pour l'aluminium, qui tiennent compte de l'échauffement des conducteurs en service. Elles valent 1,25 fois la valeur de référence que la norme prend à 20 °C : 0,0185 Ω·mm²/m pour le cuivre, un peu plus que le cuivre pur.

Exemple : une prise alimentée en 2,5 mm² cuivre, à 25 m du tableau, alimente un appareil de 16 A. Le courant parcourt 25 m à l'aller et 25 m au retour, soit L = 50 m. La résistance de la ligne vaut R = 0,023 × 50 / 2,5 = 0,46 Ω. La loi d'Ohm donne la tension perdue dans le câble : U = R × I = 0,46 × 16 ≈ 7,4 V, soit 3,2 % de 230 V ; l'appareil ne reçoit plus que 222,6 V environ. La loi de Joule donne la chaleur perdue : P = R × I² = 0,46 × 256 ≈ 118 W, répartis sur toute la longueur du câble. Ce raisonnement est la base du calcul de section, que vous retrouverez dans le cours sur les sections de câble et la chute de tension.

Pour les niveaux bac pro et BTS

La puissance en courant alternatif : cos φ, S, P et Q

Au CAP, on calcule surtout sur des charges résistives, où P = U × I. Dès qu'un récepteur comporte des bobinages (moteur, transformateur, ancien ballast ferromagnétique), le courant alternatif se décale dans le temps par rapport à la tension. Le produit U × I ne donne plus la puissance réellement transformée en travail ou en chaleur, mais la puissance apparente S, en voltampères (VA). La puissance active, celle que compte le compteur et que l'on retrouve en chaleur ou en travail mécanique, vaut :

P = U × I × cos φ

où cos φ est le facteur de puissance, compris entre 0 et 1. La puissance réactive vaut Q = U × I × sin φ, en voltampères réactifs (var). Les trois forment un triangle rectangle : S² = P² + Q². Un moteur monophasé qui absorbe 6 A sous 230 V avec cos φ = 0,8 a une puissance apparente de 1 380 VA et une puissance active de 1 104 W. Le câble, lui, doit porter les 6 A : c'est le courant, donc S, qui dimensionne la ligne, pas seulement P.

En triphasé équilibré, avec U la tension entre phases (400 V), la puissance active devient P = √3 × U × I × cos φ. Pour un moteur, n'oubliez pas que la plaque signalétique indique la puissance utile sur l'arbre : la puissance absorbée vaut la puissance utile divisée par le rendement. Ces notions sont développées dans le cours puissance en triphasé et facteur de puissance.

Résistance et température

La résistance d'un métal augmente avec sa température. Pour le cuivre, le coefficient de température vaut environ 0,004 par degré : un conducteur qui passe de 20 °C à 70 °C voit sa résistance augmenter d'environ 20 %, selon R = R20 × (1 + α × Δθ). C'est ce phénomène que couvre la résistivité majorée des calculs de chute de tension. Le phénomène explique aussi l'appel de courant d'une lampe à incandescence à l'allumage : le filament froid a une résistance bien plus faible que chaud, et le courant de mise sous tension est donc nettement supérieur au courant établi.

Mesures et diagnostic

La loi d'Ohm est un outil de diagnostic. Un élément chauffant de chauffe-eau de 2 400 W doit mesurer environ 22 Ω (230² / 2 400) : une lecture infinie signale une résistance coupée, une lecture proche de zéro un court-circuit. La mesure se fait circuit consigné au tableau, après vérification d'absence de tension sur le bornier, et appareil déconnecté, sinon l'ohmmètre mesure aussi tout ce qui est raccordé en parallèle. Les méthodes et appareils sont détaillés dans le cours sur les mesures en électricité.

Les erreurs qui reviennent

La première est une erreur d'unité. Des milliampères entrés comme des ampères, des kilowatts multipliés par des minutes, des mm² confondus avec des m² dans la formule de résistivité : le calcul est juste, le résultat faux d'un facteur 1 000. Avant chaque calcul, convertissez tout dans les unités de la formule, et écrivez l'unité à côté du résultat.

La deuxième consiste à oublier le retour dans un calcul de câble. En monophasé, le courant va par la phase et revient par le neutre : la longueur de conducteur est le double de la distance entre le tableau et le récepteur. Oublier ce facteur 2 divise par deux la chute de tension calculée.

Troisième erreur : appliquer P = U × I à un moteur sans cos φ, ou confondre la puissance utile de la plaque avec la puissance absorbée. On sous-estime alors le courant, donc la section et la protection.

Quatrième erreur, pratique celle-là : brancher l'ampèremètre comme un voltmètre. Un ampèremètre a une résistance interne très faible ; placé en parallèle sur une source, il crée un court-circuit, au mieux le fusible de l'appareil saute, au pire l'arc blesse l'opérateur. Sur une installation, on mesure le courant à la pince, autour d'un seul conducteur. Si la pince entoure la phase et le neutre ensemble, les deux courants s'annulent et elle affiche presque zéro.

Dernière erreur : mesurer une résistance sous tension. L'ohmmètre envoie son propre petit courant ; sous tension, la mesure n'a aucun sens et l'appareil peut être endommagé.

Exercices corrigés sur la loi d'Ohm

Les trois premiers exercices correspondent au niveau CAP, les quatre suivants au bac pro ; les deux derniers servent aussi de rappel en début de BTS. Cherchez avant d'ouvrir le corrigé, et posez toujours la formule avant les chiffres.

Exercice 1. Un chauffe-eau porte la mention « 3 000 W / 230 V ». Quelle intensité appelle-t-il ? Quelle est la résistance de son élément chauffant ?

Exercice 2. Un élément chauffant mesure 46 Ω hors tension. Quelle intensité le traversera sous 230 V, et quelle sera sa puissance ?

Exercice 3. Un radiateur de 2 000 W fonctionne 5 heures par jour pendant 30 jours. Quelle énergie consomme-t-il, et combien coûte-t-elle à 0,25 € le kWh ?

Exercice 4. On dispose de deux résistances R1 = 30 Ω et R2 = 60 Ω, alimentées sous 24 V. Calculez la résistance équivalente et le courant total, d'abord en série, puis en parallèle.

Exercice 5. Une prise de garage est alimentée par un câble cuivre de 2,5 mm², à 30 m du tableau. Elle alimente un compresseur que l'on assimile à une charge de 12 A avec cos φ = 1. Avec ρ = 0,023 Ω·mm²/m, calculez la résistance de la ligne, la chute de tension et la puissance perdue dans le câble.

Exercice 6. Un moteur monophasé absorbe 8 A sous 230 V avec un facteur de puissance cos φ = 0,75. Calculez ses puissances apparente, active et réactive.

Exercice 7. Un moteur triphasé fournit une puissance utile de 4 kW. Son rendement vaut 0,85 et son facteur de puissance 0,8. Il est alimenté en 400 V entre phases. Calculez le courant en ligne.

Sources

• Ministère de l'Éducation nationale, programme de physique-chimie des classes préparatoires au CAP (février 2019), module électricité : relation entre U et I pour un dipôle ohmique.
• Légifrance, décret n° 61-501 du 3 mai 1961 relatif aux unités de mesure et au contrôle des instruments de mesure, qui fixe les unités légales : volt, ampère, ohm, watt, joule.
• Norme NF C 15-100, partie 5-52, article 525 : résistivité en service normal, 1,25 fois la résistivité à 20 °C, soit 0,023 Ω·mm²/m pour le cuivre et 0,037 pour l'aluminium.
• BIPM, Le Système international d'unités (brochure SI, 9e édition).

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