Puissance en triphasé et facteur de puissance : cours et exercices

Sur un chantier tertiaire ou dans un atelier, la question revient sans cesse : combien de puissance tire cette machine, quel courant circule dans ce câble, quel calibre de disjoncteur prévoir ? En monophasé, on a appris P = U · I · cos φ. En triphasé, la formule prend un √3 et trois puissances différentes entrent en scène. Ce n'est pas plus compliqué, à condition de savoir ce que chaque lettre représente et de ne jamais mélanger watts, voltampères et vars.

Ce cours reprend le calcul de puissance en triphasé depuis la base, puis le facteur de puissance, la méthode de Boucherot pour faire le bilan d'une installation, le rendement d'un moteur et le relèvement du facteur de puissance par condensateurs. Il s'adresse aux élèves de CAP, de bac pro MELEC et de BTS Électrotechnique, avec des exercices corrigés pour chaque niveau. Si le 230 V et le 400 V ne sont pas encore clairs, commencez par le cours monophasé et triphasé.

La formule de la puissance en triphasé

Un réseau triphasé basse tension, en France, c'est trois phases et généralement un neutre. Entre deux phases, on mesure la tension composée U = 400 V ; entre une phase et le neutre, la tension simple V = 230 V. Le rapport entre les deux vaut √3, soit environ 1,732 : 230 × 1,732 ≈ 400.

Pour un récepteur triphasé équilibré (les trois phases chargées de la même façon, ce qui est le cas d'un moteur ou d'un radiateur triphasé), la puissance active s'écrit :

P = √3 · U · I · cos φ

avec P en watts (W), U la tension entre phases en volts (V), I le courant dans un fil de ligne en ampères (A), et cos φ le facteur de puissance, sans unité. Cette formule vaut que le récepteur soit couplé en étoile ou en triangle : elle utilise les grandeurs que l'on mesure sur la ligne, avec une pince ampèremétrique sur un conducteur de phase et un voltmètre entre deux phases. En étoile, chaque élément reçoit V et il est parcouru par I : P = 3 · V · I · cos φ. En triangle, chaque élément reçoit U et il est parcouru par J = I / √3 : P = 3 · U · J · cos φ. Les deux écritures redonnent √3 · U · I · cos φ.

Premier exemple de chantier : un chauffe-eau industriel triphasé de 6 kW, purement résistif, donc cos φ = 1. Le courant en ligne vaut I = P / (√3 · U) = 6 000 / (1,732 × 400) ≈ 8,7 A. Le même appareil branché en monophasé 230 V tirerait 6 000 / 230 ≈ 26 A. C'est tout l'intérêt du triphasé pour les fortes puissances : à puissance égale, le courant par conducteur est trois fois plus faible, et les sections de câble suivent.

Retenez tout de suite le réflexe de l'électricien : dans le sens inverse, pour trouver le courant d'un récepteur dont on connaît la puissance, on écrit I = P / (√3 · U · cos φ). C'est ce courant qui sert ensuite à choisir la protection et la section du câble, comme on le voit dans le cours sur les sections de câble et la chute de tension.

Puissance active, réactive et apparente : le triangle des puissances

Un radiateur transforme toute l'énergie qu'il reçoit en chaleur. Un moteur, lui, a besoin en plus de créer un champ magnétique pour tourner. Ce champ se construit et se défait cinquante fois par seconde : l'énergie correspondante fait l'aller-retour entre le réseau et les bobinages sans jamais être consommée. Le courant qui la transporte circule pourtant bien dans les câbles. D'où trois puissances distinctes.

Ces trois grandeurs se rangent dans un triangle rectangle : P sur le côté horizontal, Q sur le côté vertical, S sur l'hypoténuse. L'angle φ entre P et S est le déphasage entre la tension et le courant.

Du triangle découlent toutes les relations utiles : S² = P² + Q² (Pythagore), cos φ = P / S, sin φ = Q / S et tan φ = Q / P. Avec deux valeurs, on retrouve toujours les deux autres. Le piège : on ne peut pas additionner P et Q pour obtenir S. Un moteur de 8 kW et 6 kvar n'appelle pas 14 kVA, mais √(8² + 6²) = 10 kVA.

Le facteur de puissance cos φ

Le facteur de puissance dit quelle part du courant appelé sert vraiment. Avec cos φ = 1, tout le courant produit de la puissance active. Avec cos φ = 0,7, il faut appeler 1 / 0,7 ≈ 1,43 fois plus de courant que le strict nécessaire pour obtenir la même puissance active. Les 43 % de courant en trop chauffent les câbles, chargent le transformateur et font chuter la tension, sans rien produire.

Quelques ordres de grandeur que l'on rencontre sur le terrain : les résistances (chauffage, fours, chauffe-eau) ont un cos φ de 1. Un moteur asynchrone à pleine charge se situe souvent entre 0,8 et 0,9, un peu moins pour les petits moteurs. Surtout, le cos φ d'un moteur chute quand il tourne à vide ou peu chargé : il a toujours besoin de son champ magnétique, donc de sa puissance réactive, alors que sa puissance active baisse. Un compresseur qui tourne longtemps à vide ou un moteur surdimensionné dégradent le cos φ de tout l'atelier. La valeur exacte se lit sur la plaque signalétique du moteur, à pleine charge, et se mesure avec un cos phi-mètre ou un analyseur de réseau.

Le glossaire détaille la notion de facteur de puissance ; retenez ici qu'en régime sinusoïdal, facteur de puissance et cos φ se confondent. Nous verrons plus bas que ce n'est plus tout à fait vrai en présence d'électronique.

Calcul de puissance en triphasé : l'exemple d'un moteur

Un moteur asynchrone de scie à panneaux porte sur sa plaque : 400 V, 7,5 kW, cos φ = 0,84, rendement 88 %. Premier point à comprendre : les 7,5 kW de la plaque sont la puissance utile, la puissance mécanique disponible sur l'arbre. Le moteur absorbe davantage sur le réseau, car une partie de l'énergie se perd en chaleur dans les bobinages, le fer et les roulements.

Le rendement relie les deux : η = Pu / Pa, toujours inférieur à 1. On en tire la puissance absorbée : Pa = Pu / η = 7 500 / 0,88 ≈ 8 523 W, soit environ 8,52 kW. Les pertes valent 8 523 − 7 500 ≈ 1 020 W : c'est la chaleur que le ventilateur du moteur évacue.

Le courant en ligne se calcule avec la puissance absorbée, jamais avec la puissance utile : I = Pa / (√3 · U · cos φ) = 8 523 / (1,732 × 400 × 0,84) ≈ 14,6 A. La puissance apparente vaut S = Pa / cos φ = 8 523 / 0,84 ≈ 10 150 VA, et la puissance réactive Q = Pa · tan φ = 8 523 × 0,646 ≈ 5 500 var (à la calculatrice : tan(arccos 0,84) ≈ 0,646). Vérification : √(8 523² + 5 500²) ≈ 10 140 VA ; l'écart vient des arrondis. Ce moteur tire donc un peu plus de 10 kVA sur le réseau pour délivrer 7,5 kW sur son arbre.

La méthode de Boucherot pour le bilan d'une installation

Dès qu'une installation comporte plusieurs récepteurs, on ne peut pas additionner les courants ni les puissances apparentes : les courants ne sont pas en phase entre eux, et les additionner reviendrait à additionner des flèches qui ne pointent pas dans la même direction. Le théorème de Boucherot règle le problème : dans une installation, la puissance active totale est la somme des puissances actives, et la puissance réactive totale est la somme des puissances réactives. On calcule S et le courant seulement à la fin.

La méthode se déroule toujours de la même façon. On dresse un tableau avec, pour chaque récepteur, sa puissance active absorbée P et son cos φ. On calcule tan φ puis Q = P · tan φ pour chacun. On additionne la colonne des P et la colonne des Q. On en déduit S = √(P² + Q²), le cos φ global = P / S, et enfin le courant I = S / (√3 · U).

Prenons l'atelier de menuiserie du schéma : la scie de l'exemple précédent (8,52 kW, cos φ = 0,84), un compresseur qui absorbe 11 kW avec un cos φ de 0,80, et un four de séchage à résistances de 6 kW. On trouve P = 25,52 kW et Q = 5,50 + 8,25 + 0 = 13,75 kvar. D'où S = √(25,52² + 13,75²) ≈ 29,0 kVA, un cos φ global de 25,52 / 29,0 ≈ 0,88 et un courant de 29 000 / (1,732 × 400) ≈ 41,8 A. Notez que le four, avec son cos φ de 1, remonte le cos φ global : les charges résistives diluent la part réactive des moteurs.

En pratique, ce bilan sert à dimensionner le câble d'alimentation de l'atelier, le disjoncteur de tête et la puissance à souscrire. Pour un vrai dimensionnement, on applique aussi des coefficients d'utilisation et de simultanéité, car toutes les machines ne tournent pas à pleine charge en même temps.

Énergie réactive et facturation

L'énergie, c'est la puissance multipliée par le temps. L'énergie active se compte en kilowattheures (kWh) et c'est elle qu'on paie au fournisseur. L'énergie réactive se compte en kilovarheures (kvarh). Le rapport entre les deux, sur une période donnée, donne la tan φ moyenne de l'installation : tan φ = Er / Ea. Si les notions de watt, de kWh et de kVA se mélangent encore, l'article sur les unités de mesure électriques les reprend une par une.

Pourquoi le gestionnaire de réseau s'intéresse-t-il à l'énergie réactive ? Parce qu'elle charge ses lignes et ses transformateurs sans rien lui rapporter. Le tarif d'utilisation des réseaux (TURPE 7, en vigueur depuis le 1er août 2025) en tire les conséquences suivantes :

• en HTA (clients raccordés en moyenne tension, avec leur propre poste de transformation), l'énergie réactive soutirée est gratuite jusqu'à tan φ = 0,4 pendant les heures de pointe et les heures pleines de la saison haute, de novembre à mars par défaut ; au-delà, chaque kvarh est facturé ;
• en basse tension de plus de 36 kVA, l'énergie réactive n'est plus facturée depuis le 1er août 2025 ;
• en basse tension jusqu'à 36 kVA (logements, petits commerces), elle ne l'est pas non plus.

Un seuil de tan φ = 0,4 correspond à cos φ ≈ 0,93. Exemple : une usine raccordée en HTA consomme, sur les périodes concernées, 120 000 kWh et 66 000 kvarh. Sa tan φ vaut 66 000 / 120 000 = 0,55. La franchise gratuite représente 0,4 × 120 000 = 48 000 kvarh ; les 18 000 kvarh restants sont facturés.

Attention à ne pas conclure qu'un mauvais cos φ est devenu gratuit en basse tension. Pour un site de plus de 36 kVA, la puissance souscrite s'exprime en kVA, c'est-à-dire en puissance apparente. Un atelier qui tire 200 kW avec un cos φ de 0,75 appelle 267 kVA ; à 0,95, il n'en appellerait que 211. La différence se retrouve dans le niveau de puissance à souscrire, dans les dépassements, et dans la taille du câble et du disjoncteur de tête.

Le relèvement du facteur de puissance par condensateurs

Un condensateur fait l'inverse d'un bobinage : quand le moteur absorbe de l'énergie réactive, le condensateur en fournit. Placé près des récepteurs, il leur donne sur place la puissance réactive dont ils ont besoin, et le réseau n'a plus à la transporter. On parle de compensation de l'énergie réactive ou de relèvement du facteur de puissance. Point essentiel : la puissance active P ne change pas. Le moteur fait le même travail ; seul le courant appelé diminue.

Calcul de la puissance Qc des condensateurs

Le calcul se lit directement sur le triangle des puissances. Avant compensation, l'installation absorbe Q1 = P · tan φ1. On veut atteindre un cos φ2 plus élevé, donc Q2 = P · tan φ2. La batterie doit fournir la différence :

Qc = P · (tan φ1 − tan φ2)

avec P en kW et Qc en kvar. Exemple : un atelier de 200 kW, cos φ1 = 0,75, que l'on veut porter à cos φ2 = 0,95. On calcule tan φ1 = 0,882 et tan φ2 = 0,329. Qc = 200 × (0,882 − 0,329) ≈ 111 kvar. On choisira une batterie standard de puissance juste supérieure dans le catalogue du fabricant.

Le gain est concret. Avant compensation, S1 = 200 / 0,75 ≈ 267 kVA et le courant sous 400 V vaut 385 A. Après, S2 = 200 / 0,95 ≈ 211 kVA et le courant tombe à 304 A. Comme les pertes par effet Joule varient comme le carré du courant, elles baissent d'environ 1 − (304 / 385)² ≈ 38 %. Le transformateur retrouve de la marge et la chute de tension diminue.

Où placer la compensation

On distingue trois montages. La compensation globale, une seule batterie en tête d'installation au TGBT, est la plus simple et la moins chère ; elle supprime l'énergie réactive vue du réseau, mais les câbles internes transportent toujours le courant réactif. La compensation partielle ou par secteur place une batterie par tableau divisionnaire et soulage aussi ces câbles. La compensation individuelle met un condensateur aux bornes d'un gros moteur qui tourne longtemps ; c'est la plus efficace pour ce récepteur. Quand la charge varie beaucoup dans la journée, on utilise une batterie automatique : un régulateur enclenche ou déclenche des gradins de condensateurs pour suivre le cos φ visé.

Pour les niveaux bac pro et BTS

Mesurer P et Q : la méthode des deux wattmètres

Sur une ligne triphasée sans neutre, deux wattmètres suffisent à mesurer la puissance active : P = P1 + P2, où chaque wattmètre a son circuit courant sur une phase et son circuit tension entre cette phase et la troisième. Si la charge est équilibrée, on obtient aussi la puissance réactive : Q = √3 · (P1 − P2). Une lecture négative sur l'un des wattmètres n'est pas une erreur : elle signale un cos φ inférieur à 0,5, et il faut alors la compter en négatif dans la somme.

De la puissance réactive à la capacité

Au BTS, on demande souvent la valeur des condensateurs. Un condensateur de capacité C sous une tension U fournit Q = U² · C · ω, avec ω = 2π · f ≈ 314 rad/s à 50 Hz. Pour une batterie de trois condensateurs couplés en triangle, chacun voit la tension composée U : Qc = 3 · U² · C · ω, d'où C = Qc / (3 · U² · ω). Pour une batterie de 125 kvar sous 400 V : C = 125 000 / (3 × 400² × 314,16) ≈ 829 µF par condensateur. En étoile, chaque condensateur ne voit que V = U / √3 : il faudrait une capacité trois fois plus grande. C'est pourquoi les batteries basse tension sont couplées en triangle.

Facteur de puissance et harmoniques

Les variateurs de vitesse, les alimentations à découpage et les éclairages LED absorbent un courant déformé, qui contient des harmoniques. Le facteur de puissance se définit alors en général comme λ = P / S, et il devient inférieur au cos φ, qui ne concerne plus que la composante à 50 Hz. Les harmoniques posent un second problème : un condensateur voit son impédance baisser quand la fréquence monte, il absorbe donc les courants harmoniques et peut entrer en résonance avec l'inductance du transformateur. Dans une installation chargée d'électronique, on choisit des batteries renforcées ou des batteries avec selfs anti-harmoniques, après une mesure à l'analyseur de réseau.

Éviter la surcompensation

Une batterie fixe trop puissante, restée en service quand les moteurs sont arrêtés, fournit du réactif que personne n'absorbe : l'installation devient capacitive et la tension monte. En compensation individuelle, la puissance du condensateur doit rester inférieure à la puissance réactive du moteur à vide, sinon le moteur risque de s'auto-exciter après la coupure. Côté sécurité, un condensateur reste chargé après sa mise hors tension : les batteries sont équipées de résistances de décharge ; on consigne le départ de la batterie, on respecte le délai indiqué par le fabricant, on vérifie l'absence de tension, puis on met les bornes en court-circuit et à la terre avant toute intervention.

Les erreurs qui reviennent

La plus courante consiste à utiliser la tension simple dans la formule : P = √3 × 230 × I × cos φ donne un résultat trop faible de 42 %. Avec √3, on prend toujours U = 400 V ; avec 230 V, on écrit 3 · V · I · cos φ.

Deuxième erreur : confondre puissance utile et puissance absorbée d'un moteur. La plaque indique la puissance mécanique sur l'arbre ; le courant se calcule avec la puissance absorbée, c'est-à-dire en divisant par le rendement. Oublier le rendement sous-estime le courant et conduit à des protections qui déclenchent.

Troisième erreur : additionner les kVA ou les ampères de plusieurs récepteurs. Le résultat est toujours trop grand dès que les cos φ diffèrent. On additionne les P, puis les Q, et l'on calcule S à la fin : c'est la méthode de Boucherot.

Quatrième erreur, en compensation : calculer Qc avec la puissance apparente ou avec des cos φ au lieu des tangentes. La formule demande P en kW et la différence des tan φ. Écrire P × (cos φ2 − cos φ1) donne une valeur sans aucun sens.

Dernière erreur : croire que les condensateurs font baisser la consommation en kWh. Ils réduisent le courant, donc les pertes dans les câbles, ce qui fait gagner un peu d'énergie ; mais les machines consomment la même puissance active qu'avant. Le vrai gain se trouve sur la puissance souscrite, la facture d'énergie réactive en HTA, et la réserve de puissance retrouvée sur le transformateur et les câbles.

Exercices corrigés sur la puissance en triphasé

Les trois premiers exercices correspondent au niveau CAP, les deux suivants au bac pro, les trois derniers au BTS. Réseau 400 V, 50 Hz. Cherchez avant d'ouvrir le corrigé.

Exercice 1. Un aérotherme triphasé de 12 kW, purement résistif, est alimenté sous 400 V. Quel courant circule dans chaque phase ?

Exercice 2. Un moteur triphasé alimenté sous 400 V appelle 10 A avec un cos φ de 0,8. Calculez sa puissance active absorbée.

Exercice 3. Un récepteur absorbe une puissance active de 8 kW pour une puissance apparente de 10 kVA. Quel est son facteur de puissance ? Est-ce un radiateur ou un moteur ?

Exercice 4. Une pompe triphasée porte sur sa plaque une puissance de 4 kW. Sous 400 V, à sa charge nominale, on mesure 8,2 A et un cos φ de 0,82. Calculez la puissance absorbée et le rendement.

Exercice 5. Un local technique regroupe : un moteur M1 de 5 kW absorbés (cos φ = 0,8), un moteur M2 de 3 kW absorbés (cos φ = 0,6) et un chauffage de 4 kW. Par la méthode de Boucherot, calculez P, Q, S, le cos φ global et le courant de ligne sous 400 V.

Exercice 6. Une installation absorbe 150 kW avec un cos φ de 0,70. Calculez la puissance de la batterie de condensateurs qui porte le cos φ à 0,93, puis le courant de ligne avant et après compensation sous 400 V.

Exercice 7. La batterie de l'exercice 6 (on retient 100 kvar, valeur standard juste au-dessus ; en pratique, ce serait une batterie automatique) est réalisée avec trois condensateurs couplés en triangle sous 400 V, 50 Hz. Calculez la capacité de chaque condensateur.

Exercice 8. Sur un moteur triphasé équilibré alimenté sans neutre, la méthode des deux wattmètres donne P1 = 4 200 W et P2 = 1 500 W. Calculez P, Q et le cos φ.

Sources

• CRE, Délibération n° 2025-78 du 13 mars 2025 portant décision sur le TURPE 7 HTA-BT, composante annuelle de l'énergie réactive, seuil tan φ max de 0,4 en HTA et définition de la saison haute.
• Enedis, Tarifs en vigueur au 1er août 2026, TURPE 7 HTA/BT, dont la fin de la facturation de l'énergie réactive en BT de plus de 36 kVA depuis le 1er août 2025.

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