Courant alternatif et circuits RLC : cours, impédance et exercices

En continu, la loi d'Ohm suffit : on divise la tension par la résistance et on obtient le courant. Sur le réseau 230 V, ce n'est plus vrai dès qu'un récepteur contient une bobine ou un condensateur. Un ballast de tube fluorescent a une résistance de quelques ohms mais ne laisse passer que quelques centaines de milliampères ; une pince ampèremétrique posée sur un moteur affiche un courant plus fort que ce que sa puissance laisse prévoir. Pour comprendre ces écarts, il faut trois notions : la valeur efficace, l'impédance et le déphasage.

Ce cours de bac pro MELEC reprend le courant alternatif sinusoïdal depuis ses grandeurs de base, puis le comportement des dipôles R, L et C, les circuits RL, RC et RLC série, la représentation de Fresnel et les puissances. Il se termine par trois applications de chantier et des exercices corrigés. Si la loi d'Ohm n'est pas encore solide, commencez par le cours loi d'Ohm et grandeurs électriques ; pour une présentation plus générale, sans calcul, notre article tout savoir sur le courant alternatif suffit.

Le courant alternatif sinusoïdal : période, fréquence, pulsation

Une tension alternative change de sens en permanence. Sur le réseau, elle suit une sinusoïde : elle monte jusqu'à un maximum, redescend, passe par zéro, devient négative, atteint un minimum, puis revient. Sa valeur à chaque instant s'écrit u(t) = Umax · sin(ω · t). Trois grandeurs décrivent le rythme de ce mouvement.

La période T est la durée d'un cycle complet, en secondes. La fréquence f est le nombre de cycles par seconde, en hertz : f = 1 / T. En Europe, le réseau est à 50 Hz ; RTE, le gestionnaire du réseau de transport, surveille en permanence cette valeur, qui baisse quand la consommation dépasse la production et monte dans le cas inverse. À 50 Hz, T = 1 / 50 = 0,02 s, soit 20 ms. La pulsation ω, en radians par seconde, exprime la même chose en angle : un cycle correspond à un tour, soit 2π radians, donc ω = 2π · f. À 50 Hz, ω = 2 × 3,1416 × 50 ≈ 314 rad/s. La pulsation n'a pas d'utilité sur un chantier, mais elle apparaît dans toutes les formules d'impédance : il faut savoir la calculer.

Valeur maximale et valeur efficace

La valeur maximale Umax (on dit aussi valeur crête) est le sommet de la sinusoïde. La valeur efficace U est la valeur de la tension continue qui produirait le même échauffement dans une résistance. C'est elle qu'affiche un multimètre en position alternatif (un appareil dit TRMS la mesure correctement même quand le signal n'est pas parfaitement sinusoïdal), et c'est elle que désigne le « 230 V » du réseau.

Pour une sinusoïde, et seulement pour elle, les deux sont liées par √2 ≈ 1,414 :

Umax = U · √2 et Imax = I · √2

Sur le réseau, Umax = 230 × 1,414 ≈ 325 V. Ce chiffre a des conséquences concrètes : un condensateur branché sur le 230 V voit 325 V à chaque crête, et son isolant doit le supporter. La valeur moyenne, elle, est nulle sur une période, puisque les alternances positive et négative se compensent ; c'est pourquoi un multimètre réglé en continu affiche 0 V sur une prise. Tous les calculs de puissance, de courant et de section de câble se font avec les valeurs efficaces. Le cours monophasé et triphasé montre comment ces valeurs se retrouvent dans le 230 V et le 400 V.

Le déphasage entre le courant et la tension

Branchez un radiateur, un moteur et un condensateur sur la même prise, et observez le courant de chacun à l'oscilloscope avec une sonde de courant. Les trois courants ont la même fréquence que la tension, mais ils ne passent pas par zéro au même moment. Ce décalage s'appelle le déphasage, noté φ (phi) et exprimé en degrés ou en radians.

Sur l'oscillogramme, on mesure le décalage de temps Δt entre deux passages par zéro dans le même sens, puis on le ramène à une période, qui vaut 360° :

φ = 360° × Δt / T

À 50 Hz, un décalage de 2 ms donne φ = 360 × 2 / 20 = 36°. Reste à savoir dans quel sens. Si le courant passe par zéro après la tension, il est en retard : le circuit est dit inductif, c'est le cas d'un moteur ou d'un ballast. S'il passe par zéro avant, il est en avance : le circuit est capacitif. Dans ce cours, on compte φ positif pour un circuit inductif et négatif pour un circuit capacitif. Le cosinus de cet angle, le fameux cos φ, s'appelle le facteur de puissance quand les signaux sont sinusoïdaux ; il reviendra dans le calcul des puissances.

La représentation de Fresnel

Dessiner des sinusoïdes décalées pour les additionner serait interminable. La méthode de Fresnel remplace chaque grandeur sinusoïdale par un vecteur : sa longueur représente la valeur efficace, son angle représente la phase. Deux grandeurs déphasées de 90° sont deux vecteurs perpendiculaires ; deux grandeurs en phase sont deux vecteurs alignés.

La règle d'or est la suivante : on additionne les tensions d'un circuit série comme des vecteurs, pas comme des nombres. Pour tracer un diagramme de Fresnel, on choisit une grandeur de référence, posée horizontalement. Dans un circuit série, le courant est le même partout : c'est lui la référence. On trace ensuite chaque tension avec son angle par rapport au courant, on les met bout à bout, et la tension totale est le vecteur qui va de l'origine à l'extrémité du dernier. La longueur se calcule avec Pythagore, l'angle avec la trigonométrie. C'est exactement la même géométrie que le triangle des puissances.

Impédance de R, L et C : les formules

L'impédance Z, en ohms, généralise la résistance au courant alternatif : c'est le rapport entre la tension efficace aux bornes d'un dipôle et le courant efficace qui le traverse, Z = U / I. On écrit donc la loi d'Ohm en alternatif U = Z · I. Pour une bobine ou un condensateur parfaits, on parle aussi de réactance, notée X.

La résistance se comporte en alternatif comme en continu. Un radiateur ou un chauffe-eau sont des récepteurs résistifs : courant et tension sont en phase.

La bobine s'oppose aux variations du courant. Plus le courant varie vite, donc plus la fréquence est élevée, plus elle freine : sa réactance est proportionnelle à ω. En continu (f = 0), une bobine parfaite n'oppose aucune résistance ; c'est pourquoi une bobine de contacteur prévue pour le 230 V alternatif ne doit jamais être alimentée en 230 V continu, où seule sa faible résistance limite le courant. Exemple : L = 0,1 H à 50 Hz donne XL = 0,1 × 314 ≈ 31,4 Ω.

Le condensateur fait l'inverse. Il bloque le continu, puisque ses armatures sont séparées par un isolant, mais laisse passer l'alternatif d'autant mieux que la fréquence est élevée. Attention aux unités : les capacités se comptent en microfarads, et 1 µF = 0,000 001 F. Exemple : C = 10 µF à 50 Hz donne XC = 1 / (10 × 10⁻⁶ × 314) ≈ 318 Ω.

Une bobine réelle, celle d'un ballast ou d'un enroulement de moteur, n'est jamais parfaite : son fil de cuivre a une résistance. On la modélise donc par une résistance r en série avec une inductance L, ce qui nous amène au circuit RL.

Circuits RL et RC série

Dans un circuit série, le même courant I traverse tous les dipôles. La tension aux bornes de la résistance, UR = R · I, est en phase avec lui. La tension aux bornes de la bobine, UL = XL · I, est en avance de 90° sur lui. Sur le diagramme de Fresnel, ces deux vecteurs forment un angle droit, et la tension totale U en est l'hypoténuse.

On en tire les formules du circuit RL série :

Z = √(R² + XL²) tan φ = XL / R cos φ = R / Z

Prenons une bobine réelle de résistance R = 40 Ω et d'inductance L = 0,3 H, alimentée en 230 V, 50 Hz. XL = 0,3 × 314,16 ≈ 94,2 Ω. Z = √(40² + 94,2²) = √(1 600 + 8 883) ≈ 102,4 Ω. Le courant vaut I = 230 / 102,4 ≈ 2,25 A. Si l'on avait divisé 230 V par les 40 Ω mesurés à l'ohmmètre, on aurait trouvé 5,75 A : plus du double. Côté angle, cos φ = 40 / 102,4 ≈ 0,39, soit φ ≈ 67°, courant en retard.

Mesurez maintenant les tensions avec un voltmètre : UR = 40 × 2,25 ≈ 90 V et UL = 94,2 × 2,25 ≈ 212 V. Leur somme fait 302 V, alors que le circuit est alimenté en 230 V. Il n'y a pas d'erreur de mesure : √(90² + 212²) ≈ 230 V. C'est la meilleure démonstration qu'en alternatif, les tensions s'additionnent vectoriellement.

Le circuit RC série se traite de la même façon, avec XC à la place de XL : Z = √(R² + XC²), tan φ = XC / R, cos φ = R / Z. Seule différence, UC est en retard de 90° sur le courant : le vecteur descend au lieu de monter, et le courant est en avance sur la tension totale. Avec R = 1 000 Ω et C = 2,2 µF à 50 Hz, XC = 1 / (2,2 × 10⁻⁶ × 314,16) ≈ 1 447 Ω, Z ≈ 1 759 Ω, I = 230 / 1 759 ≈ 0,131 A et cos φ ≈ 0,57.

Le circuit RLC série

Quand une résistance, une bobine et un condensateur sont en série, UL et UC sont tous deux perpendiculaires au courant, mais en sens opposés. Ils se retranchent l'un de l'autre avant de s'ajouter à UR. La réactance totale vaut X = XL − XC, et :

Z = √(R² + (XL − XC)²) tan φ = (XL − XC) / R

Si XL l'emporte, le circuit est inductif et le courant est en retard ; si XC l'emporte, il est capacitif et le courant est en avance. C'est tout le principe de la compensation d'énergie réactive : on ajoute du « capacitif » à un récepteur trop « inductif » pour que les deux effets se neutralisent. Le cas particulier où XL = XC, appelé résonance, est traité plus bas pour le BTS.

Les puissances en régime sinusoïdal

En alternatif, la puissance instantanée varie en permanence. On retient trois puissances, calculées avec les valeurs efficaces. En monophasé :

Une bobine parfaite ne consomme aucune puissance active : elle stocke de l'énergie dans son champ magnétique pendant un quart de période et la rend au réseau pendant le quart suivant. Le courant correspondant circule pourtant dans les câbles et les fait chauffer. Dans notre bobine de 40 Ω et 0,3 H, P = 40 × 2,25² ≈ 202 W, Q = 94,2 × 2,25² ≈ 477 var et S = 230 × 2,25 ≈ 518 VA. Le compteur facture 202 W, mais le câble transporte le courant de 518 VA.

Ce sont les mêmes relations qu'en triphasé, au facteur √3 près. Le cours puissance en triphasé et facteur de puissance développe le triangle des puissances, la méthode de Boucherot et le calcul des batteries de condensateurs.

Trois applications : tube fluorescent, moteur, condensateur de démarrage

Le tube fluorescent et son ballast

Un tube fluorescent ne peut pas être branché directement sur le 230 V : une fois allumé, l'arc dans le gaz laisse passer de plus en plus de courant et le tube se détruirait. Le ballast ferromagnétique, une bobine sur noyau de fer placée en série, limite ce courant grâce à sa réactance, en dissipant bien moins de chaleur qu'une résistance ne le ferait. Au démarrage, le starter préchauffe les électrodes puis s'ouvre ; la coupure brutale du courant dans la bobine produit la surtension qui amorce le tube.

Revers de la médaille : l'ensemble tube et ballast est fortement inductif. Le guide de l'installation électrique de Schneider Electric donne un cos φ d'environ 0,6 sans compensation, et un courant de 0,33 A en 230 V pour un tube de 36 W, contre 0,23 A une fois compensé. La compensation se fait le plus souvent avec un condensateur branché en parallèle dans chaque luminaire ; le même guide indique une capacité moyenne de 1 µF pour 10 W de puissance active. L'exercice 5 refait ce calcul. Les ballasts électroniques, qui alimentent le tube à haute fréquence, ont un facteur de puissance proche de 1 et n'ont plus besoin de condensateur.

Le moteur, récepteur inductif

Un moteur asynchrone a besoin de puissance réactive pour créer son champ magnétique, qu'il soit chargé ou non. À pleine charge, son cos φ tourne autour de 0,85 ; à vide, il s'effondre, le guide Schneider citant environ 0,17. Un moteur surdimensionné qui tourne à faible charge dégrade donc le facteur de puissance de toute l'installation. Sur le terrain, c'est ce qui explique qu'un moteur de 1,5 kW puisse tirer un courant bien supérieur à 1 500 / 230 ≈ 6,5 A : la formule correcte est I = Pu / (U · cos φ · η), où Pu est la puissance utile inscrite sur la plaque et η le rendement.

Le condensateur de démarrage et le condensateur permanent

Un moteur asynchrone monophasé ne démarre pas seul : un seul enroulement alimenté en 230 V produit un champ qui pulse sans tourner. On ajoute donc un enroulement auxiliaire, alimenté à travers un condensateur. Celui-ci met le courant de l'enroulement auxiliaire en avance sur celui de l'enroulement principal, qui est inductif. Avec un déphasage proche de 90° entre les deux courants, les deux enroulements créent un champ tournant qui entraîne le rotor.

Deux montages coexistent. Le condensateur permanent reste en service pendant toute la marche du moteur : c'est le cas des ventilateurs, pompes et compresseurs de petite puissance. Le condensateur de démarrage, de capacité plus élevée, donne un fort couple au décollage, puis il est déconnecté par un contact centrifuge ou un relais dès que le moteur a pris sa vitesse : il n'est pas conçu pour rester sous tension en permanence. Quand un moteur de bétonnière ou de compresseur « grogne » sans démarrer mais tourne si on lance l'arbre à la main, le condensateur est le premier suspect. On le remplace par un modèle de même capacité, en µF, et de tension de service au moins égale, toutes deux inscrites sur le boîtier, après l'avoir déchargé.

Pour aller plus loin (BTS)

En BTS Électrotechnique, on passe à la notation complexe, plus rapide que Fresnel dès que le circuit se complique. Les impédances s'écrivent Z_R = R, Z_L = jLω et Z_C = 1 / (jCω) = −j / (Cω). En série, les impédances complexes s'additionnent ; en parallèle, ce sont les admittances Y = 1 / Z. Le module donne Z, l'argument donne φ.

La résonance série se produit quand XL = XC, soit Lω = 1 / (Cω). La fréquence de résonance vaut f₀ = 1 / (2π√(LC)). À cette fréquence, Z se réduit à R, le courant est maximal et le circuit se comporte comme une résistance pure. Mais les tensions UL et UC, égales et opposées, peuvent chacune dépasser largement la tension d'alimentation : c'est la surtension de résonance (exercice 6). Dans une installation industrielle, une batterie de condensateurs et l'inductance du transformateur peuvent former un circuit résonant sur une fréquence harmonique ; c'est la raison d'être des batteries équipées de selfs anti-harmoniques.

Enfin, cos φ et facteur de puissance ne sont égaux qu'en régime sinusoïdal. Avec un courant déformé, comme celui des alimentations électroniques ou de certains luminaires, le facteur de puissance se définit par λ = P / S et peut être nettement inférieur au cos φ mesuré entre les fondamentaux. Un cos φ-mètre et un analyseur de réseau ne donnent donc pas toujours la même valeur.

Les erreurs qui reviennent

La première erreur est d'additionner les tensions arithmétiquement dans un circuit RL ou RC série. Si UR + UL dépasse la tension d'alimentation, ce n'est pas l'appareil de mesure qui se trompe : il faut passer par Pythagore.

Deuxième erreur, diviser la tension par la résistance mesurée à l'ohmmètre pour trouver le courant d'une bobine. L'ohmmètre mesure en continu, donc seulement la résistance du fil ; en alternatif, c'est l'impédance qui compte.

Troisième erreur, les unités : oublier de convertir les microfarads en farads ou les millihenrys en henrys, ou utiliser f au lieu de ω dans XL = L · ω. Un XC de 318 000 Ω au lieu de 318 Ω doit mettre la puce à l'oreille.

Quatrième erreur, confondre valeur maximale et valeur efficace. On lit Umax sur l'oscilloscope, U sur le multimètre ; les formules de puissance veulent U. À l'inverse, un condensateur ou un isolant doit tenir la valeur crête.

Dernière erreur, pratique celle-là : manipuler un condensateur sans le décharger. Un condensateur de moteur ou de compensation peut rester chargé après la coupure ; on vérifie l'absence de tension à ses bornes avant d'y toucher.

Exercices corrigés sur le courant alternatif et les circuits RLC

Les exercices 1 à 5 correspondent au bac pro, les suivants au BTS. On prend π ≈ 3,1416 et, à 50 Hz, ω ≈ 314,16 rad/s. Cherchez avant d'ouvrir le corrigé.

Exercice 1. Sur un oscilloscope, une tension sinusoïdale a une valeur maximale de 325 V et une période de 20 ms. Calculez sa fréquence, sa pulsation et sa valeur efficace.

Exercice 2. Sur l'oscillogramme d'un moteur alimenté en 50 Hz, le courant passe par zéro 3 ms après la tension. Calculez le déphasage et le cos φ. Le récepteur est-il inductif ou capacitif ?

Exercice 3. Calculez, à 50 Hz, la réactance d'une bobine de 0,2 H et celle d'un condensateur de 4,7 µF, puis le courant dans chacun sous 230 V (composants supposés parfaits).

Exercice 4. Une bobine réelle (R = 60 Ω, L = 0,25 H) est alimentée en 230 V, 50 Hz. Calculez Z, I, cos φ, puis P, Q et S.

Exercice 5. Un luminaire à tube fluorescent de 36 W et ballast ferromagnétique absorbe 0,33 A sous 230 V. Les pertes du ballast sont estimées à 25 % de la puissance du tube. Calculez la puissance active totale, le cos φ, la puissance réactive, puis la capacité du condensateur parallèle qui annulerait cette puissance réactive.

Exercice 6 (BTS). Un circuit RLC série (R = 20 Ω, L = 0,1 H, C = 100 µF) est alimenté en 230 V, 50 Hz. Calculez sa fréquence de résonance, puis Z, I, UL et UC à 50 Hz. Que constatez-vous ?

Exercice 7 (BTS). Un moteur monophasé absorbe 1 500 W sous 230 V avec un cos φ de 0,75. On veut relever son facteur de puissance à 0,95 avec un condensateur en parallèle. Calculez la puissance réactive à fournir, la capacité nécessaire et le courant en ligne avant et après.

Sources

• Éduscol STI, co-intervention maths-sciences et électrotechnique, première bac pro MELEC : caractéristiques d'un signal alternatif sinusoïdal.
• Schneider Electric, Guide de l'installation électrique 2017, chapitres A (courants des tubes fluorescents), L (valeurs courantes du facteur de puissance) et N (compensation des circuits d'éclairage).
• RTE, La fréquence électrique, un indicateur d'équilibre du réseau.

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